Большие транспортные сети с конечномерным пространством состояний. Асимптотический подход.

KOI WIN L^AT_EX PS PDF |== > К списку публикаций To the list of publications

Л.Г. Афанасьева, Д.В. Хмелёв

1999

Рассмотрим сеть из N узлов (станций), которые делятся на n районов. При увеличении N количество районов остается неизменным. Количество станций в районе j равно d^N_j N, е_j=1ⁿ d^N_j=1, d^N_jN - целое число для всякого j и N. Существуют такие d_j > 0, что ЦN(d_j^N-d_j)[( N®Ґ) || (® )]0 для j=[`1,n]. Далее j и v обозначают номер района и могут принимать значения от 1 до n. На станцию в j-м районе требования поступают пуассоновским потоком с интенсивностью l_j. Если на станции есть обслуживающий прибор, то, в соответствии со стохастической матрицей P={p_jv}_j,v=[`1,n], требование вместе с прибором направляется на станцию в v-го района, которая он выбирает равновероятно среди всех станций v-го района. Обслуживание требования состоит в его перемещении с одной станции до другой.

В [1] рассмотрена полностью симметричная сеть. Наша модель является обобщением [1] в сторону асимметрии. Время перемещения от станции j-го района до станции v-го района распределено экспоненциально с параметром m_jv. Время движения между станциями внутри j-го района также экспоненциально распределено с параметром m_jj. Если на станции нет ни одного прибора и есть места ожидания, то требовование встает в очередь, иначе требование теряется для системы. Все станции v-го района однотипны - на каждой из них может базироваться не более m_v автомобилей и на каждой k_v мест для пассажиров. Если прибор, который прибыл в v-тый район, не находит свободной стоянки, то он направляется (без требования) в район l в соответствии со стохастической матрицей [P\tilde]={[p\tilde]_vl}_v,l=[`1,n]; станция l-го района выбирается равновероятно среди d^N_lN станций района. Первоначально на всех станциях в j-м районе находится r_j автомобилей, где r_j - целые числа от 1 до m_j. Потребуем, чтобы матрица P[P\tilde] обладала единственной инвариантной мерой p = (p₁, ..., p_n)^T: p^TP[P\tilde] =p^T, p₁+јp_n=1, p і 0.

Обозначим через x_j,i(t) долю узлов в состоянии i в районе j среди всех N станций, е_{i=-k_j}^m_jx_j,i(t)=d^N_j; через [M\tilde]_jv(t) количество приборов, которые покинули j-тый район и в момент t направляются на станцию в v-м районе. Определим процесс M_jv(t)=[M\tilde]_jv(t)/N. Запишем состояние системы как вектор x О R^a длиной a =n²+е_v=1ⁿ (k_v+m_v+1): x=(M₁₁, M₁₂, ј, M_1n, M₂₁, ј, M_nn, x_1,-k₁, x_1,-k₁+1, ј, x_1,m₁, x_2,-k₂, ј, x_{n,m_n}). Для фиксированного N случайный процесс X^N_t=x(t) является эргодичной цепью Маркова.

Пусть x_t(x) - решение следующей системы дифференциальных уравнений с начальным условием x₀(x)=x: для j, v=[`1,n]

Ч

x

j,-k_j

=

(l_j d_j x_{j,-k_j+1} - M^j x_{j,-k_j} )/d_j,

Ч

x

j,i

=

(l_j d_j x_j,i+1- (l_j d_j + M^j )x_j,i+ M^j x_j,i-1)/d_j,
(1)

Ч

x

j,m_j

=

(-l_j d_j x_{j,m_j} + M^j x_{j,m_j-1} )/d_j,

Ч

M

jv

=

p_jv ж
и l_j d_j S_j⁺+ M^j S_j^- ц
ш -m_jvM_jv+ d_j M^j x_{j,m_j}
~

p

jv
,
(2)

где S_j⁺ є d_jе_i=1^m_j x_j,i, S_j^- є d_jе_{i=-k_j}^-1x_j,i, M^j=е_l=1ⁿ m_lj M_lj. Обозначим через e_x распределение, сосредоточенное в точке x О R^a.

Теорема 1. Пусть X₀^N ® e_x слабо. Справедливы утверждения

(i) sup_{s Ј t} |X^N_s-x_s(x)|[ P || (® )] 0 для всех t і 0 при N®Ґ.

(ii) Процессы ЦN(X^N_t-x_t(x)) сходятся по распределению к непрерывному процессу с независимыми приращениями Y с ковариационной функцией [^C](x), где [^C](x)=т₀^t [^c](x_s(x))ds, а c: R^a®R^a² - некоторая явная матричная функция.

Полученные результаты позволяют изучать характеристики X^N_t посредством изучения нелинейной динамической системы x_t(x), которая, как показывает имитационное моделирование, является хорошим приближением.

[1] L.G. Afanassieva, G. Fayolle, S.Yu. Popov. Models for transportation networks.

Last modified уВФ оПС 23 12:28:42 MSK 2002